Exames Nacionais
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Exercício 1.

  • 2017

    1.ª Fase

    1.

    Represente as projeções da reta r, paralela a um plano de rampa δ.

    Dados

    • o plano δ contém a reta de perfil p;
    • a reta p contém o ponto A (0; –2; 4) e define um ângulo de 30º com o Plano Horizontal de Projeção;
    • o traço horizontal da reta p tem afastamento negativo;
    • a reta r contém o ponto T (–4; 8; 2);
    • a projeção horizontal da reta r define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o eixo x.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    1.

    Determine os traços do plano θ, paralelo ao plano α.

    Dados

    • o plano α é definido pelos pontos A (–2; 4; 3), B (–4; 5; 3) e C (1; 4; 0);
    • o plano θ contém o ponto P (3; –4; 2).
    Proposta de Resolução
  • 2016

    1.ª Fase

    1.

    Determine as projeções do ponto I, resultante da interseção da reta r com o plano α.

    Dados

    • o plano α contém o ponto A (5; –2; 3) e o ponto B do eixo x com zero de abcissa;
    • o traço horizontal do plano α faz um ângulo de 35º, de abertura para a direita, com o eixo x;
    • a reta r contém o ponto P (–7; 0; 0);
    • a projeção horizontal da reta r é perpendicular ao traço horizontal do plano α;
    • a projeção frontal da reta r é paralela ao traço frontal do plano α.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    1.

    Determine os traços do plano θ, perpendicular ao plano α.

    Dados

    • o plano α é definido pelo seu traço frontal e pelo ponto A (0; 2; 4);
    • o traço frontal do plano α contém o ponto B do eixo x, com abcissa nula, e faz um ângulo de 50º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
    • o plano θ contém o ponto P (0; 4; 2) e o seu traço frontal faz um ângulo de 40º, de abertura para a esquerda, com o eixo x.
    Proposta de Resolução
  • 2015

    1.ª Fase

    1.

    Determine os traços do plano θ paralelo ao plano de rampa ω.

    Dados

    • o plano ω contém a reta de perfil p, definida pelos pontos A (3; 3; 6) e B com 9 de afastamento e –2 de cota;
    • o plano θ contém o ponto P de abcissa nula e –5 de cota, pertencente ao Plano Frontal de Projeção.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    1.

    Determine os traços do plano α perpendicular ao plano de rampa δ.

    Dados

    • o plano δ é definido pelo seu traço horizontal com 6 de afastamento e pelo ponto A;
    • o ponto A, com 6 de abcissa e 4 de cota, pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares, β13;
    • o plano α contém o ponto P (0; 9; 8);
    • o traço frontal do plano α forma um ângulo de 45°, de abertura para a esquerda, com o eixo x.
    Proposta de Resolução
  • 2014

    1.ª Fase

    1.

    Determine os traços do plano θ paralelo ao plano α.

    Dados

    • o plano α é definido pelos pontos A, B e C;
    • o ponto A, com 3 de abcissa e 4 de cota, pertence ao β13, bissetor dos diedros ímpares;
    • o ponto B, com –6 de abcissa e 4 de cota, pertence ao β24, bissetor dos diedros pares;
    • ponto C (–8; 4; –4);
    • o plano θ contém o ponto P (–2; 2; –6).
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    1.

    Determine as projeções do ponto I resultante da interseção da reta fronto-horizontal g com o plano α.

    Dados

    • a reta g, com 6 de afastamento, pertence ao β13, bissetor dos diedros ímpares;
    • o plano α é definido pelo ponto K do eixo x com 4 de abcissa e pela reta frontal f;
    • a reta f contém o ponto P (0; 4; 3) e a sua projeção frontal faz um ângulo de 60°, de abertura para a esquerda, com o eixo x.
    Proposta de Resolução
  • 2013

    1.ª Fase

    1.

    Determine as projeções do ponto I resultante da interseção da reta de topo t com o plano oblíquo δ.

    Dados

    • a reta t tem –5 de abcissa e 5 de cota;
    • o plano δ está definido por duas retas paralelas, a e b;
    • a reta a é passante e contém o ponto M (4; 4; 3);
    • a projeção frontal da reta a faz um ângulo de 30°, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
    • a reta b contém o ponto N (6; 4; –1).
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    1.

    Determine as projeções da reta passante s, perpendicular à reta r no ponto A.

    Dados

    • a reta r é passante e está definida pelo ponto A com 2 de abcissa e 3 de cota e pelo ponto B do eixo x com 7 de abcissa;
    • a projeção horizontal da reta r faz um ângulo de 50°, de abertura para a direita, com o eixo x.
    Proposta de Resolução
  • 2012

    1.ª Fase

    1.

    Determine os traços do plano de rampa δ ortogonal ao plano θ.

    Dados

    • o plano θ contém o ponto A (4; 3; 2) e o ponto B do eixo x com zero de abcissa;
    • o traço horizontal do plano θ faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
    • o plano δ contém o ponto P (–6; 7; 5).
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    1.

    Determine os traços do plano μ paralelo ao plano δ.

    Dados

    • o plano δ contém as retas fronto-horizontais a e b;
    • a reta a tem 3 de afastamento e 8 de cota;
    • a reta b pertence ao bissetor dos diedros pares, β2,4, e tem 4 de cota;
    • o plano μ contém o ponto P (6; 5; 6).
    Proposta de Resolução
  • 2011

    1.ª Fase

    1.

    Determine as projeções do ponto I, traço da reta b, no plano bissetor dos diedros pares (β2,4).

    Dados

    • a reta b é paralela ao plano δ;
    • a reta b contém o ponto P (–7; 7; –2);
    • a projeção horizontal da reta b faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com o eixo x;
    • o plano δ está definido pelos pontos R (3; 6; 3); S (0; 6; 5) e T (–3; 1; 5).
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    1.

    Determine as projeções da reta de interseção, i, do plano oblíquo δ com o plano de rampa ρ.

    Dados

    • o plano δ está definido por uma reta de maior declive, d;
    • a reta d contém o ponto P (–2; 3; 4);
    • as projeções, horizontal e frontal, da reta d fazem, com o eixo x, ângulos de 30º, de abertura para a esquerda, e de 50º, de abertura para a direita, respetivamente;
    • os traços horizontal e frontal do plano ρ têm –5 de afastamento e 7 de cota, respetivamente.
    Proposta de Resolução
  • 2010

    1.ª Fase

    1.

    Determine as projeções da reta s perpendicular à reta r.

    Dados

    • a reta r é definida pelo ponto A (0; 11; 7) e pelo seu traço frontal F, com 7 de abcissa e 2 de cota;
    • a reta s, concorrente com a reta r, contém o ponto P (0; 5; 2).
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    1.

    Determine os traços do plano π que contém o ponto P e é paralelo ao plano α.

    Dados

    • o plano α é definido pelas retas a e b;
    • a reta a contém o ponto S (3; 5; 3);
    • as projeções, horizontal e frontal, da reta a fazem, com o eixo x, ângulos de 45º, de abertura para a direita, e de 30º, de abertura para a esquerda, respetivamente;
    • a reta b pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares, (β1,3), e a sua projeção frontal faz, com o eixo x, um ângulo de 30º de abertura para a direita;
    • o plano π contém o ponto P (–6; 3; –4).
    Proposta de Resolução
  • 2009

    1.ª Fase

    1.

    Determine as projeções da reta de interseção, i, dos planos oblíquos α e β, que contêm o mesmo ponto do eixo x.

    Dados

    • os traços do plano α intersetam o eixo x no ponto com –1 de abcissa e fazem, ambos, ângulos de 60º, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo;
    • o plano β é definido pelo seu traço horizontal e pela reta b;
    • o traço horizontal faz um ângulo de 20º, de abertura para a direita, com o eixo x;
    • a reta b é de perfil passante e contém o ponto B (2; 6).
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    1.

    Determine as projeções da reta de interseção, i, do plano oblíquo π com o plano passante θ.

    Dados

    • o plano π interseta o eixo x no ponto com 5 de abcissa;
    • os traços horizontal e frontal do plano π fazem, respetivamente, ângulos de 50º e de 30º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
    • o plano θ é definido pelo eixo x e pelo ponto P (0; 3; 6).
    Proposta de Resolução
  • 2008

    1.ª Fase

    1.

    Determine as projeções do ponto de interseção, I, da reta de perfil r com o plano de rampa ρ.

    Dados

    • o plano ρ tem o seu traço horizontal com –7 de afastamento e o seu traço frontal com 4 de cota;
    • a reta r contém o ponto P (2; 6; 3) e é paralela ao plano bissetor dos diedros pares (β2,4).
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    1.

    Determine as projeções da reta b paralela ao plano α e ao plano bissetor dos diedros pares (β2,4).

    Dados

    • o plano α é definido pelas retas r e s, concorrentes no ponto R (5; 3; 2);
    • o ponto H, traço horizontal da reta r, tem 9 de abcissa e 7 de afastamento;
    • a reta s é passante e a sua projeção horizontal faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
    • a reta b contém o ponto B (–5; 3; 2).
    Proposta de Resolução
  • 2007

    1.ª Fase

    1.

    Determine o ponto de interseção, I, da reta horizontal n com o plano de rampa ρ.

    Dados

    • o plano ρ é definido pelo ponto A (–2; 2; 8) e pela reta a;
    • a reta a é fronto-horizontal, tem 2 de cota e pertence, também, ao β2,4;
    • a reta n contém o ponto N (–4; 5; 7) e faz um ângulo de 30°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projeção.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    1.

    Determine os traços do plano β, que contém os pontos P e R e é perpendicular ao plano α.

    Dados

    Plano α:

    • o plano α contém o ponto A (3; 6; 4) e uma reta horizontal h;
    • a reta h tem 8 de cota, faz, com o plano frontal de projeção, um ângulo de 50°, com abertura para a direita, e o seu traço frontal Fh tem 6 de abcissa.

    Plano β:

    • o plano β contém os pontos P (0; 2; 4) e R (–5; 0; 0).
    Proposta de Resolução
  • 2006

    1.ª Fase

    1.

    Determine a reta de interseção i do plano de rampa ρ com o plano oblíquo α.

    Dados

    • o plano de rampa ρ contém as retas fronto-horizontais a e b;
    • a reta a tem 3 de afastamento e 3 de cota e a reta b tem 5 cm de afastamento e 2 de cota;
    • os traços horizontal e frontal do plano oblíquo α fazem, ambos, ângulos de 45º, de abertura para a esquerda, com o eixo x.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    1.

    Represente, pelas suas projeções, a reta p, perpendicular ao plano oblíquo α.

    Dados

    • o plano oblíquo α é definido pelos pontos A (5; –6; 6); B (0; 1,5; 3) e C (–5; 5; 3);
    • a reta p contém o ponto Q (–7; 5; 10).
    Proposta de Resolução

Exercício 2.

  • 2017

    1.ª Fase

    2.

    Determine as projeções e a verdadeira grandeza do segmento de reta que corresponde à distância do ponto P ao plano θ.

    Dados
    • o plano θ contém os pontos R (0; 2; 4) e S (–2; 4; 4) e é perpendicular ao plano bissetor dos diedros ímpares, β13;
    • o ponto P tem –5 de abcissa, 5 de afastamento e pertence ao plano bissetor dos diedros pares, β24.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    2.

    Determine as projeções e a verdadeira grandeza do segmento de reta que corresponde à distância do ponto P ao plano de rampa ρ.

    Dados

    • o plano ρ contém o ponto M (9; 2; 7) e o seu traço horizontal tem 5 de afastamento;
    • o ponto P tem 4 de abcissa e –3 de afastamento e pertence ao plano bissetor dos diedros pares, β24.
    Proposta de Resolução
  • 2016

    1.ª Fase

    2.

    Determine a amplitude do ângulo definido entre os planos π e θ.

    Destaque, a traço mais forte, as semirretas que definem o ângulo.

    Dados

    • o plano π é de perfil com –4 de abcissa;
    • o plano θ é definido pela reta de maior declive d, que contém o ponto A (0; 3; 2);
    • as projeções horizontal e frontal da reta d fazem, respetivamente, um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, e um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com o eixo x.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    2.

    Determine as projeções de um retângulo [ABCD] situado num plano oblíquo δ e no 1.º diedro.

    Dados

    • o plano δ é definido pelo ponto M do eixo x, com 4 de abcissa, e por uma reta horizontal h;
    • a reta horizontal h contém o vértice A (0; 3; 2) e define um ângulo de 55º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;
    • o lado [AB] do retângulo mede 9 cm e o vértice B tem cota nula;
    • os lados menores do retângulo medem 6 cm.
    Proposta de Resolução
  • 2015

    1.ª Fase

    2.

    Determine a amplitude do ângulo entre as direções das retas a e b.

    Dados

    • a reta a contém o ponto P (2; 6; 3);
    • as projeções horizontal e frontal da reta a formam ângulos de 60°, de abertura para a direita, com o eixo x;
    • a reta b é horizontal, contém o ponto S (–6; 5; 2) e forma um ângulo de 60°, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    2.

    Determine a amplitude do ângulo entre o Plano Frontal de Projeção e o plano oblíquo ω.

    Dados

    • o plano ω é definido pelo ponto A (–4; 6; 5) e por uma reta horizontal h;
    • a reta h contém o ponto B (0; 4; 2) e forma um ângulo de 50°, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção.
    Proposta de Resolução
  • 2014

    1.ª Fase

    2.

    Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas retas p e f, concorrentes no ponto B.

    Dados

    • a reta p de perfil é definida pelo ponto A (2; 4; 2) e pelo ponto B com 2 de afastamento e 5 de cota;
    • a reta f é frontal e faz um ângulo de 45°, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeção.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    2.

    Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pela reta oblíqua r e o plano de topo θ.

    Dados

    • a reta r é definida pelos pontos A (–4; 2; 5) e B (0; 6; –1);
    • o plano θ contém o ponto S do eixo x com 3 de abcissa e faz um diedro de 60°, de abertura para a esquerda, com o Plano Horizontal de Projeção.
    Proposta de Resolução
  • 2013

    1.ª Fase

    2.

    Determine as projeções de um pentágono regular [ABCDE] situado num plano de rampa θ.

    Dados

    • o pentágono está inscrito numa circunferência com centro no ponto O (0; 2; 5);
    • a reta de perfil p do plano θ contém o ponto O e tem o seu traço horizontal com 5 de afastamento;
    • o vértice A do pentágono é o traço frontal da reta p.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    2.

    Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelos planos δ e θ.

    Dados

    • o plano δ é vertical, contém o ponto M do eixo x com –3 de abcissa e faz um ângulo de 60°, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;
    • o plano θ é de topo, contém o ponto N do eixo x com 3 de abcissa e faz um ângulo de 60°, de abertura para a esquerda, com o Plano Horizontal de Projeção.
    Proposta de Resolução
  • 2012

    1.ª Fase

    2.

    Determine, graficamente, a amplitude do ângulo entre a reta horizontal h e o plano ω.

    Dados

    • o plano ω está definido por uma das suas retas de maior declive d;
    • o traço horizontal da reta d tem 4 de abcissa e 2 de afastamento;
    • a projeção horizontal da reta d faz um ângulo de 30º, de abertura para a direita, com o eixo x;
    • o traço frontal da reta d tem –4 de cota;
    • a reta h contém o ponto P (0; –1; 7) e faz um ângulo de 50º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    2.

    Determine, graficamente, a distância do ponto P ao plano ω.

    Dados

    • ponto P (–3; 10; –2);
    • o plano ω está definido pelo ponto A (0; –1; 5) e pela reta de perfil p;
    • a reta p contém o ponto B (4; 2; 5) e o seu traço horizontal tem 6 de afastamento.
    Proposta de Resolução
  • 2011

    1.ª Fase

    2.

    Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas retas a e p.

    Dados

    • as retas a e p são concorrentes no ponto C (0; 4; 5);
    • o ponto F, traço frontal da reta a, tem 8 de abcissa e –3 de cota;
    • a reta p é de perfil;
    • o ponto H, traço horizontal da reta p, tem 8 de afastamento.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    2.

    Determine, graficamente, a verdadeira grandeza da distância do ponto P ao plano oblíquo α.

    Dados

    • o ponto P pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares (β1,3), tem 6 de abcissa e 8 de afastamento;
    • o plano α é definido pelo ponto A (–1; 4; 2) e pela reta r;
    • a reta r contém o ponto M (6; –6; 9);
    • o ponto F, traço frontal da reta r, tem 0 de abcissa e 6 de cota.
    Proposta de Resolução
  • 2010

    1.ª Fase

    2.

    Determine as projeções do triângulo [LMN].

    Dados

    • o triângulo está situado no 1.º diedro;
    • o ponto L (4; 2; 4) é um dos vértices do triângulo;
    • o lado [LM] é frontal e mede 7 cm;
    • o lado [MN] é de perfil, tem –1 de abcissa e faz 50º com o plano horizontal de projeção;
    • o lado [LN] mede 8 cm;
    • o ponto N é o vértice de menor cota.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    2.

    Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelos planos δ e θ.

    Dados

    • o plano δ é oblíquo e os seus traços, nos planos de projeção, são coincidentes;
    • o traço horizontal do plano δ cruza o eixo x num ponto com 6 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;
    • o plano θ é de topo, contém o ponto R (–5; 6; 5) e faz um diedro de 50º, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projeção.
    Proposta de Resolução
  • 2009

    1.ª Fase

    2.

    Determine, graficamente, a amplitude do ângulo formado pelas retas r e s.

    Dados

    • a reta r é paralela ao plano bissetor dos diedros pares (β2,4);
    • a projeção frontal da reta r faz um ângulo de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
    • o ponto F, traço frontal da reta r, tem 8 de abcissa e 8 de cota;
    • a reta s é concorrente com a reta r no ponto P, com 3 de cota;
    • as projeções da reta s são perpendiculares às projeções homónimas da reta r.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    2.

    Determine, graficamente, a verdadeira grandeza da distância entre dois planos paralelos, α e β.

    Dados

    • o traço frontal do plano α interseta o eixo x no ponto com –10 de abcissa e faz um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda, com esse mesmo eixo;
    • o plano β contém os pontos M (6; 2; 3) e N (10; 7; –3).
    Proposta de Resolução
  • 2008

    1.ª Fase

    2.

    Represente pelas suas projeções o triangulo isósceles [ABC], contido num plano oblíquo α.

    Dados

    • o ponto A (5; 1; 8) é um dos vértices do triângulo;
    • o lado [BC] pertence à reta s;
    • o ponto F, traço frontal da reta s, tem –6 de abcissa e –4 de cota;
    • as projeções, horizontal e frontal, da reta s fazem, ambas, ângulos de 30º, de abertura para a esquerda, com o eixo x;
    • os lados [AB] e [AC] do triângulo medem 8,5 cm.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    2.

    Determine graficamente a amplitude do ângulo entre o plano oblíquo θ e o plano frontal de projeção.

    Dados

    • o plano θ é definido pela reta d, uma reta de maior declive que contém o ponto P (0; 4; 2);
    • a projeção horizontal da reta d faz um ângulo de 35º, de abertura para a esquerda, com o eixo x e a sua projeção frontal faz um ângulo de 45º, de abertura para a direita, com esse mesmo eixo.
    Proposta de Resolução
  • 2007

    1.ª Fase

    2.

    Represente pelas suas projeções um quadrado com uma circunferência inscrita, existentes ambos no plano vertical α, de acordo com os dados abaixo apresentados.

    Determine rigorosamente, nas projeções da circunferência, os seus pontos de maior e de menor cota (A e B), mais à esquerda e mais à direita (E e D), e os seus pontos de tangência com os lados do quadrado (P, Q, R e S).

    Dados

    • o plano α interseta o eixo x no ponto de abcissa –2 e faz um ângulo de 60°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projeção;
    • o centro, M, do quadrado tem 4 de afastamento e pertence ao β1,3;
    • as diagonais medem 7 cm; uma é horizontal e a outra é vertical.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    2.

    Represente, pelas suas projeções, horizontal e frontal, o retângulo [ABCD] do 1.º diedro e contido num plano de rampa δ.

    Dados

    • o traço horizontal hδ do plano de rampa tem 6 de afastamento;
    • o vértice A pertence ao plano frontal de projeção, tem 2 de abcissa e 4 de cota;
    • o lado [AB] faz, com o traço frontal do plano δ, um ângulo de 35°, com abertura para a direita, e é um dos lados maiores do retângulo;
    • os lados medem 3 cm e 6 cm.
    Proposta de Resolução
  • 2006

    1.ª Fase

    2.

    Determine, graficamente, a amplitude, α, do ângulo das duas retas enviesadas n e f.

    Dados

    • a reta n é horizontal, interseta o plano frontal de projeção no ponto Fn (–4; 0; 4) e faz, com este, um ângulo de 60º, de abertura para a direita;
    • a reta f é frontal, interseta o plano horizontal de projeção no ponto Hf (4; 4; 0) e faz, com este, um ângulo de 60º, de abertura para a esquerda.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    2.

    Represente, pelas suas projeções, horizontal e frontal, o quadrado [ABCD], contido num plano oblíquo β.

    Dados

    • o ponto A (–5,5; 5; 3) é um dos vértices do quadrado;
    • o vértice C tem 0 de abcissa e 2,5 de afastamento;
    • a diagonal [AC] pertence a uma reta oblíqua passante p;
    • o traço horizontal hβ do plano β faz, com o eixo x, um ângulo de 45º, com abertura para a direita.
    Proposta de Resolução

Exercício 3.

  • 2017

    1.ª Fase

    3.

    Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide regular de base triangular, situada no 1.º diedro.

    Dados

    • a base [ABC] pertence a um plano oblíquo α;
    • o plano α é definido pelos pontos A (–1; 4; 2), B (–4; 0; 9) e K do eixo x com 2 de abcissa;
    • o vértice V da pirâmide tem 4 de abcissa.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    3.

    Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano de topo δ numa pirâmide regular de base quadrada.

    Destaque, a traço mais forte, a parte do sólido delimitada pelo plano secante e pelo Plano Horizontal de Projeção.

    Preencha, com tracejado paralelo ao eixo x, a projeção visível da secção.

    Dados

    • a base da pirâmide [ABCD] pertence a um plano de perfil;
    • o centro da base da pirâmide é o ponto O (0; 4; 5);
    • o vértice A, com 3 de cota, pertence ao Plano Frontal de Projeção;
    • o vértice V da pirâmide tem –10 de abcissa;
    • o plano δ define um diedro de 45º, de abertura para a esquerda, com o Plano Horizontal de Projeção e contém o ponto K do eixo x com –8 de abcissa.
    Proposta de Resolução
  • 2016

    1.ª Fase

    3.

    Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano de rampa ρ numa pirâmide oblíqua de base quadrada, situada no 1.º diedro.

    Destaque, a traço mais forte, a parte do sólido delimitada pelo plano secante e pelo Plano Frontal de Projeção.

    Identifique, a traço interrompido, a aresta invisível do sólido resultante.

    Preencha, com tracejado paralelo ao eixo x, as projeções visíveis da secção.

    Dados

    • a base da pirâmide [ABCD] pertence ao Plano Frontal de Projeção;
    • o vértice A é um ponto do eixo x com 6 de abcissa;
    • a aresta [AB] define um ângulo de 30º, de abertura para a direita, com o Plano Horizontal de Projeção;
    • o vértice B tem abcissa nula;
    • a aresta lateral [AV] é de topo e o vértice V tem 8 de afastamento;
    • o plano ρ está definido pelos seus traços horizontal e frontal com, respetivamente, 6 de afastamento e 7 de cota.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    3.

    Determine as projeções de uma pirâmide oblíqua de base regular triangular [ABC] situada num plano horizontal e das suas sombras própria e projetada nos planos de projeção.

    Destaque, a traço mais forte, as projeções da pirâmide e as linhas visíveis da sombra projetada nos planos de projeção.

    Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido e as linhas invisíveis da parte ocultada da sombra projetada.

    Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.
    Nota – Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

    Dados

    • o vértice A, com 6 de abcissa e 8 de cota, pertence ao Plano Frontal de Projeção;
    • a aresta [AB] define um ângulo de 60º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;
    • o vértice B tem 2 de abcissa;
    • o vértice C tem abcissa positiva;
    • o vértice V da pirâmide é um ponto do eixo x com abcissa nula;
    • a direção luminosa é a convencional.
    Proposta de Resolução
  • 2015

    1.ª Fase

    3.

    Determine as projeções de um prisma oblíquo de bases regulares frontais, situado no 1.º diedro, e das suas sombras, própria e projetada nos planos de projeção.

    Destaque, a traço mais forte, as projeções do prisma e as linhas visíveis da sombra projetada nos planos de projeção e, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido e as linhas invisíveis da parte ocultada da sombra projetada.

    Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

    Nota - Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

    Dados

    • o ponto A (0; 0; 0) e o ponto B (–3; 0; 5) são vértices consecutivos do quadrado [ABCD] de uma das bases do prisma;
    • as projeções horizontais e frontais das retas que contêm as arestas laterais do prisma formam ângulos de 55° e 35°, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
    • o prisma tem 3 cm de altura;
    • a direção luminosa é a convencional.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    3.

    Determine as projeções e a verdadeira grandeza da figura de secção produzida por um plano vertical θ num cubo situado no 1.º diedro.

    Destaque, a traço mais forte, as projeções do cubo e da figura de secção e a sua verdadeira grandeza.

    Identifique, a traço interrompido, a aresta invisível do sólido.

    Dados

    • o cubo tem duas faces frontais;
    • o ponto A (3; 0; 3) e o ponto C (7; 0; 10) são vértices de uma diagonal da face frontal [ABCD];
    • o plano θ contém o ponto M do eixo x com –1 de abcissa e forma um diedro de 45°, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção.
    Proposta de Resolução
  • 2014

    1.ª Fase

    3.

    Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide regular de base triangular [ABC] situada num plano de rampa ω.

    Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido.

    Dados

    • vértice A (5; 3; 6);
    • o traço horizontal do plano ω tem 9 de afastamento;
    • o vértice B tem 3 de abcissa e 8 de afastamento;
    • o vértice C tem abcissa negativa;
    • o vértice V do sólido pertence ao Plano Horizontal de Projeção.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    3.

    Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano vertical δ numa pirâmide regular de base quadrangular [ABCD] situada num plano frontal.

    Destaque, a traço mais forte, a parte da pirâmide delimitada pelo plano secante e pelo Plano Frontal de Projeção.

    Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.

    Preencha, a tracejado, a projeção visível da secção.

    Dados

    • o vértice A (0; 9; 0) é o de menor cota;
    • a diagonal [AC] do quadrado da base é vertical e mede 10 cm;
    • o vértice V do sólido pertence ao Plano Frontal de Projeção;
    • o plano δ contém o ponto M, ponto médio do eixo do sólido, e faz um diedro de 55°, de abertura para a esquerda, com o Plano Frontal de Projeção.
    Proposta de Resolução
  • 2013

    1.ª Fase

    3.

    Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção de um cone oblíquo, de base circular situada num plano horizontal, e situado no 1.º diedro.

    Destaque, a traço mais forte, as projeções do cone e o contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.

    Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis na parte ocultada do contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.

    Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

    Nota - Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

    Dados

    • a base do cone tem 4 cm de raio e pertence a um plano horizontal com 1 de cota;
    • a geratriz [AV] situada mais à esquerda é vertical, com 4 de abcissa e 6 de afastamento;
    • a geratriz [AV] mede 8 cm;
    • a direção luminosa é a convencional.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    3.

    Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção de um cilindro oblíquo, de bases circulares situadas em planos frontais, e situado no 1.º diedro.

    Destaque, a traço mais forte, as projeções do cilindro e o contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.

    Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.

    Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

    Nota - Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

    Dados

    • o ponto O (0; 4; 7,5) é o centro da circunferência com 3,5 cm de raio de uma das bases do cilindro;
    • as geratrizes do cilindro são horizontais e fazem um ângulo de 60°, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção;
    • a outra base do cilindro pertence ao Plano Frontal de Projeção;
    • a direção luminosa é a convencional.
    Proposta de Resolução
  • 2012

    1.ª Fase

    3.

    Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção de uma pirâmide quadrangular oblíqua, de base regular contida num plano de perfil e situada no 1.º diedro.

    Destaque, a traço mais forte, as projeções da pirâmide e o contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.

    Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.

    Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

    Nota - Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

    Dados

    • os pontos A (0; 0; 3) e B (0; 4; 0) são dois dos vértices da base [ABCD] da pirâmide;
    • a aresta lateral [AV] é fronto-horizontal;
    • o vértice V tem –10 de abcissa;
    • a direção luminosa é a convencional.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    3.

    Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano de topo θ num prisma triangular oblíquo de bases regulares horizontais, situado no 1.º diedro.

    Destaque, a traço mais forte, a parte do prisma delimitada pelo plano secante e pelo Plano Horizontal de Projeção.

    Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido resultante.

    Preencha, a tracejado, a projeção visível da secção.

    Dados

    • o ponto A (7; 4; 0) e o ponto B (1; 5; 0) são dois dos vértices do triângulo [ABC] de uma das bases do prisma;
    • a aresta lateral [AA'] tem as suas projeções horizontal e frontal a fazerem, respetivamente, ângulos de 25º, de abertura à esquerda, e 45º, de abertura à direita, com o eixo x;
    • o vértice A' pertence ao Plano Frontal de Projeção;
    • o plano θ contém um ponto do eixo x com 6 de abcissa e o seu traço frontal faz um ângulo de 30º, de abertura para a direita, com este mesmo eixo.
    Proposta de Resolução
  • 2011

    1.ª Fase

    3.

    Represente, pelas suas projeções, um prisma triangular regular, situado no 1.º diedro.

    Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis.

    Dados

    • as bases do prisma estão situadas em planos oblíquos, perpendiculares ao plano bissetor dos diedros ímpares (β1,3);
    • a base [ABC] está contida no plano α, cujo traço horizontal faz um ângulo de 40º, de abertura para a direita, com o eixo x;
    • o ponto A (1; 3; 0) é um dos vértices da base referida;
    • o ponto O' (3; 10; 9) é o centro da outra base.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    3.

    Determine a sombra própria e a sombra real nos planos de projeção, de um cilindro oblíquo de bases circulares, situado no 1.º diedro.

    Ponha em destaque quer o contorno da sombra real nos planos de projeção, quer as projeções do cilindro.

    Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.

    Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

    Nota - Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

    Dados

    • o cilindro tem bases frontais cujo raio mede 4,5 cm;
    • o ponto O (0; 0; 8) é o centro de uma das bases;
    • o ponto O', centro da outra base, tem 4,5 de cota;
    • o eixo do cilindro é de perfil e faz um ângulo de 70º com o plano frontal de projecção;
    • a direção luminosa é a convencional.
    Proposta de Resolução
  • 2010

    1.ª Fase

    3.

    Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida pelo plano de topo θ num cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.

    Ponha em destaque, a traço mais forte, a parte do cone delimitada pelo plano secante e pelo plano da base.

    Preencha a tracejado a projeção visível da secção.

    Dados

    • a base está contida num plano horizontal;
    • o vértice V (0; 6; 10) e o ponto A (5; 6; 2) são os extremos de uma das geratrizes do contorno aparente frontal;
    • o plano de topo θ contém o ponto médio do eixo do cone e é paralelo à geratriz [AV].
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    3.

    Determine a sombra própria e a sombra real de um prisma pentagonal regular, nos planos de projeção, de acordo com os dados abaixo apresentados.

    Ponha em destaque quer o contorno da sombra real nos planos de projeção, quer as projeções do prisma.

    Identifique, a traço interrompido, as linhas invisíveis, quer no sólido, quer na parte ocultada do contorno da sua sombra projetada nos planos de projeção.

    Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

    Nota - Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

    Dados

    • as bases estão contidas em planos de perfil;
    • os pontos O (2; 4,5; 6) e A (2; 0; 6) são, respetivamente, o centro e um dos vértices da base [ABCDE];
    • o plano de perfil da outra base tem -5 de abcissa;
    • a direção luminosa é a convencional.
    Proposta de Resolução
  • 2009

    1.ª Fase

    3.

    Represente, pelas suas projeções, um cone de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.

    Determine a sombra própria do cone e a sua sombra real nos planos de projeção, utilizando a direção luminosa convencional.

    Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra, na sombra própria, e a parte ocultada do contorno, na sombra projetada.

    Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.

    Nota - Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.

    Dados

    • a base está contida no plano frontal φ e tem 4 cm de raio;
    • o centro da base é o ponto O, que pertence ao plano bissetor dos diedros ímpares (β1,3) e tem 2 de abcissa e 8 de afastamento;
    • o vértice é o ponto V, com 1 cm de afastamento.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    3.

    Represente, pelas suas projeções, uma pirâmide quadrangular regular, situada no 1.º diedro, de acordo com os dados abaixo apresentados.

    Dados

    • a base [ABCD] está contida no plano oblíquo δ, que cruza o eixo x no ponto com 3 de abcissa;
    • os traços, horizontal e frontal, do plano δ fazem, respetivamente, ângulos de 40º e 50º, ambos de abertura para a direita, com o eixo x;
    • as diagonais da base medem 10 cm;
    • o ponto A (1; 8) e o ponto C, que pertence ao traço horizontal do plano δ, definem a diagonal [AC];
    • a pirâmide tem 12 cm de altura.
    Proposta de Resolução
  • 2008

    1.ª Fase

    3.

    Represente pelas suas projeções um cilindro de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.

    Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria do cilindro e a sua sombra real nos planos de projeção.

    Identifique, a traço interrompido, a parte invisível da linha separatriz de luz/sombra do sólido, na sombra própria, e as partes ocultadas do contorno da sombra projetada.

    Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite, clara e uniforme.

    (Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.)

    Dados

    • as bases são horizontais;
    • o ponto O (4; 7; 8) é o centro de uma das bases;
    • a base de centro O' tem 2 de cota;
    • o raio das bases mede 4 cm.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    3.

    Represente pelas suas projeções uma pirâmide pentagonal oblíqua com base contida no plano horizontal de projeção e, ainda, um plano de rampa ρ, de acordo com os dados abaixo apresentados.

    Determine as projeções do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano ρ.

    Identifique, a traço interrompido, as invisibilidades nas arestas da pirâmide e no contorno da secção.

    Dados

    • a base [ABCDE] é um pentágono regular inscrito numa circunferência de centro O (4; 5; 0) e 5 cm de raio;
    • a face lateral [ABV] é frontal, representa um triângulo isósceles, e os vértices A e B, da base, são os de menor afastamento;
    • o vértice V da pirâmide tem 9 de cota;
    • o traço horizontal do plano ρ tem 11 de afastamento e o seu traço frontal tem 5 de cota.
    Proposta de Resolução
  • 2007

    1.ª Fase

    3.

    Determine as projeções da secção produzida pelo plano de topo β num prisma hexagonal oblíquo de bases frontais, de acordo com os dados abaixo apresentados.

    Ponha em destaque, a traço mais forte, a parte do prisma delimitada pela secção, que contém a base situada mais à esquerda.

    Preencha a tracejado a projeção horizontal da secção, e identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis da parte do sólido que foi posta em destaque.

    Dados

    • as bases do prisma são hexágonos regulares com 2,5 cm de lado e com uma diagonal maior vertical;
    • o centro da base de menor afastamento é o ponto O (4; 0; 4);
    • as arestas laterais são horizontais e fazem ângulos de 50°, de abertura para a direita, com o plano frontal de projeção;
    • os dois vértices mais à direita, na base de centro O, têm a mesma abcissa dos dois vértices mais à esquerda da outra base;
    • o plano β contém o ponto de abcissa –3 do eixo x e faz um ângulo de 55°, de abertura para a esquerda, com o plano horizontal de projeção.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    3.

    Represente, em dupla projeção ortogonal, um cone de revolução de base horizontal, de acordo com os dados abaixo apresentados.

    Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria do cone e a sua sombra real projetada nos planos de projeção.

    Identifique, a traço interrompido, as geratrizes invisíveis da linha separatriz de luz/sombra do sólido, na sombra própria, e as partes ocultadas do contorno da sombra projetada.

    Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

    (Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.)

    Dados

    • o plano horizontal que contém a base do sólido tem 5,5 de cota;
    • o vértice V do cone é um ponto do semiplano horizontal anterior com 2 de abcissa e 7,5 de afastamento;
    • o raio da circunferência da base mede 3,5 cm.
    Proposta de Resolução
  • 2006

    1.ª Fase

    3.

    Represente, em dupla projeção ortogonal, uma pirâmide triangular regular de base frontal, de acordo com os dados abaixo apresentados.

    Utilizando a direção luminosa convencional, determine a sombra própria da pirâmide e a sua sombra real projetada nos planos de projeção.

    Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido e as partes ocultadas do contorno da sombra projetada.

    Identifique as áreas visíveis das sombras própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme.

    (Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às respetivas projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada.)

    Dados

    • o ponto A (4; 7; 3) é um dos vértices da base [ABC];
    • o vértice principal, V, tem 0 de abcissa, 1,5  de afastamento e 4,5 de cota.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    3.

    Represente, em dupla projeção ortogonal, uma pirâmide pentagonal regular de base horizontal e, ainda, um plano de topo τ, de acordo com os dados abaixo apresentados.

    Represente as projeções do contorno da secção produzida na pirâmide pelo plano τ e determine a verdadeira grandeza da secção.

    Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis da pirâmide.

    Preencha, a tracejado, a verdadeira grandeza da secção.

    Dados

    • o ponto A (–5; 9; 1,5) é um dos vértices da base [ABCDE] da pirâmide;
    • o vértice principal, V, tem –5 de abcissa, 5 de afastamento e 7 de cota;
    • o plano de topo τ faz um ângulo de 35º, de abertura para a direita, com o plano horizontal de projeção, e contém o vértice mais à esquerda da base da pirâmide.
    Proposta de Resolução

Exercício 4.

  • 2017

    1.ª Fase

    4.

    Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por três prismas regulares de bases quadradas.

    Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • dimetria: a projeção axonométrica do eixo x define um ângulo de 110º com a projeção axonométrica dos eixos y e z.
      Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.

    Prismas:

    • os três prismas são iguais e as suas arestas são paralelas aos eixos coordenados;
    • as arestas das bases dos prismas medem 2 cm.
    • Prisma 1:

      • o vértice M (7; 7; 9) e o vértice N (7; 7; 2) definem a aresta lateral com maior abcissa e maior afastamento do prisma com bases paralelas ao plano coordenado xy.

      Prisma 2:

      • o vértice M é o de maior abcissa e menor cota da base com maior afastamento do prisma com bases paralelas ao plano coordenado xz.

      Prisma 3:

      • o vértice N é o de maior afastamento e maior cota da base com maior abcissa do prisma com bases paralelas ao plano coordenado yz.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    4.

    Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por três prismas regulares de bases quadradas.

    Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • dimetria: a projeção axonométrica do eixo z define um ângulo de 110º com a projeção axonométrica dos eixos x e y.
      Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.

    Prismas:

    • os três prismas são iguais e as suas arestas são paralelas aos eixos coordenados;
    • o vértice A (3; 3; 0) é comum aos três prismas;
    • as arestas das bases dos prismas medem 3 cm;
    • os prismas têm 7 cm de altura.

    Prisma 1:

    • o prisma tem bases paralelas ao plano coordenado yz;
    • o vértice A é o de maior afastamento e menor cota da base com menor abcissa.

    Prisma 2:

    • o prisma tem bases paralelas ao plano coordenado xz;
    • o vértice A é o de maior abcissa e menor cota da base com menor afastamento.

    Prisma 3:

    • o prisma tem bases paralelas ao plano coordenado xy;
    • o vértice A é o de maior abcissa e maior afastamento da base com menor cota.
    Proposta de Resolução
  • 2016

    1.ª Fase

    4.

    Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases quadradas.

    Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • dimetria: a projeção axonométrica do eixo x faz um ângulo de 110º com as projeções axonométricas dos eixos y e z.
      Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

    Prismas:

    • os dois prismas são iguais, com arestas paralelas aos eixos coordenados, e têm 2 cm de altura;
    • o vértice A (8; 8; 0) e o vértice B (8; 8; 7) definem a aresta de maior abcissa e de maior afastamento do prisma com bases paralelas ao plano coordenado yz;
    • o outro prisma tem bases paralelas ao plano coordenado xz, e o vértice B é o de maior abcissa da aresta de menor cota da base de maior afastamento.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    4.

    Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases triangulares.

    Destaque, no desenho final, apenas as linhas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 140° com a projeção axonométrica do eixo x e um ângulo de 130° com a projeção axonométrica do eixo z;
    • a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55°.
      Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.

    Prismas:

    • os dois prismas são iguais e têm 3 cm de altura;
    • os prismas têm as bases paralelas ao plano coordenado xz.

    Prisma 1:

    • o vértice A (4; 9; 7) e o vértice B (10; 9; 7) definem uma aresta da base com maior afastamento;
    • o outro vértice dessa base é o de menor cota.

    Prisma 2:

    • o vértice R (13; 9; 7) é o de maior abcissa da aresta, paralela ao eixo x, da base com maior afastamento;
    • o outro vértice dessa base é o de maior cota.
    Proposta de Resolução
  • 2015

    1.ª Fase

    4.

    Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois cones de revolução.

    Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • a projeção do eixo y forma um ângulo de 120° com a projeção do eixo z e um ângulo de 150°com a projeção do eixo x;
    • a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55°.
      Nota - Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.

    Cones:

    • os dois cones são iguais e têm uma geratriz comum;
    • o ponto O (9; 2; 5) e o ponto O' (6; 12; 5) são os centros das bases de cada um dos cones;
    • as bases são paralelas ao plano coordenado xz e têm 3 cm de raio.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    4.

    Represente, em axonometria clinogonal militar, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases triangulares.

    Destaque, no desenho final, apenas o traçado as linhas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • a projeção do eixo z forma um ângulo de 130° com a projeção do eixo x e um ângulo de 140° com a projeção do eixo y;
    • a inclinação das retas projetantes em relação ao plano axonométrico é de 50°.
      Nota - Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.

    Prismas:

    • as bases de menor cota dos prismas pertencem ao plano coordenado xy;

    Prisma 1:

    • os vértices R (6; 2; 0) e S (6; 8; 0) são os de maior abcissa de uma das suas bases;
    • o prisma tem 9 cm de altura.

    Prisma 2:

    • os vértices R e Q (6; 6; 0) são os de menor abcissa de uma das suas bases;
    • o prisma tem 5 cm de altura.
    Proposta de Resolução
  • 2014

    1.ª Fase

    4.

    Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares de bases quadrangulares.

    Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 150° com a projeção do eixo z e um ângulo de 120°com a projeção do eixo x;
    • a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55°.
      Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.

    Prismas quadrangulares regulares:

    • os dois prismas são iguais e têm 8 cm de altura.

    Prisma 1:

    • as bases do prisma são frontais;
    • o ponto R (9; 10; 8) e o ponto S (5; 10; 8) definem a aresta de maior cota, da base com maior afastamento.

    Prisma 2:

    • as bases do prisma são horizontais;
    • o ponto S e o ponto T (1; 10; 8) definem a aresta de maior afastamento, da base com maior cota.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    4.

    Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por um prisma regular de base quadrangular e por um cubo.

    Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 135° com as projeções dos eixos z e x;
    • a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 55°.
      Nota – Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.

    Prisma quadrangular:

    • as bases do prisma pertencem a planos frontais;
    • o ponto A (4; 12; 0) e o ponto C (9; 12; 5) são os vértices de uma das diagonais da base de maior afastamento do prisma;
    • o prisma tem 11 cm de altura.

    Cubo:

    • as faces do cubo são paralelas aos planos coordenados;
    • o vértice C é comum aos dois sólidos, sendo o vértice de menor abcissa, maior afastamento e maior cota do cubo;
    • a aresta do cubo mede 3 cm.
    Proposta de Resolução
  • 2013

    1.ª Fase

    4.

    Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares.

    Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • dimetria: a projeção axonométrica do eixo z faz um ângulo de 125° com as projeções dos eixos x e y.
      Nota - Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.

    Prisma hexagonal:

    • as bases do prisma pertencem a planos horizontais;
    • o ponto A (5; 0; 3) e o ponto B (10; 0; 3) são os vértices da aresta de menor afastamento de uma das bases do prisma;
    • a outra base está situada no plano coordenado xy.

    Prisma triangular:

    • as bases do prisma pertencem a planos frontais;
    • o segmento [AB] é a aresta de menor cota de uma das bases deste prisma;
    • a outra base pertence ao plano que contém a face lateral de maior afastamento do prisma hexagonal.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    4.

    Represente, em axonometria clinogonal cavaleira, uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares.

    Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • a projeção axonométrica do eixo y faz um ângulo de 140° com a projeção do eixo z e um ângulo de 130° com o eixo x;
    • a inclinação das retas projetantes com o plano axonométrico é de 50°.
      Nota - Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x orientado positivamente, da direita para a esquerda.

    Prisma quadrangular:

    • as bases do prisma pertencem a planos frontais;
    • o ponto A (12; 6; 0) e o ponto B (6; 6; 0) são os vértices da aresta de menor cota da base de maior afastamento do prisma;
    • o prisma tem 2 cm de altura.

    Prisma triangular:

    • o ponto R (6; 2; 6) e o ponto S (6; 8; 6) são os vértices da aresta de maior abcissa da base de maior cota do prisma;
    • a outra base do prisma pertence ao plano coordenado xy.
    Proposta de Resolução
  • 2012

    1.ª Fase

    4.

    Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por um cubo.

    Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • dimetria: a projeção axonométrica do eixo z faz um ângulo de 110º com as projeções dos eixos x e y.
      Nota - Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

    Prisma quadrangular:

    • o ponto A (3; 2; 0) e o ponto B (3; 10; 0) são os vértices de uma aresta de uma das bases do prisma;
    • a outra base está contida no plano coordenado yz.

    Cubo:

    • uma das faces do cubo pertence ao plano da base do prisma, que contém a aresta [AB];
    • os vértices desta face são os pontos médios das arestas da base do prisma.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    4.

    Represente, em axonometria ortogonal, uma forma tridimensional composta por duas pirâmides quadrangulares oblíquas de base regular.

    Destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • trimetria: a projeção axonométrica do eixo x faz um ângulo de 110º com a projeção do eixo z e um ângulo de 130º com a projeção do eixo y.
      Nota - Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

    Pirâmides:

    • o ponto A (6; 2; 0) e o ponto B (6; 8; 0) definem uma aresta que é comum às duas bases dos sólidos;
    • as bases das pirâmides estão contidas no plano coordenado xy;
    • os vértices V e V' das pirâmides pertencem à reta vertical que contém o vértice A;
    • o vértice V tem 10 de cota e o vértice V' tem 5 de cota;
    • o vértice V' pertence à pirâmide que tem a aresta da base de maior abcissa.
    Proposta de Resolução
  • 2011

    1.ª Fase

    4.

    Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspetiva cavaleira, de um sólido composto por uma pirâmide quadrangular oblíqua de base regular e por um cilindro de revolução.

    Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • o eixo axonométrico y faz ângulos de 135º com os eixos axonométricos x e z;
    • as projetantes fazem ângulos de 60º com o plano axonométrico.
      Nota: Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

    Pirâmide quadrangular oblíqua de base regular:

    • a base está situada no plano coordenado horizontal xy;
    • o ponto R com 3 de abcissa e 4 de afastamento e o ponto S com 10 de abcissa e 4 de afastamento definem a aresta de menor afastamento da base;
    • a face [RSV] é um triângulo isósceles paralelo ao plano coordenado frontal zx;
    • o ponto V com 8 de cota é o vértice da pirâmide.

    Cilindro de revolução:

    • uma base está situada no plano coordenado frontal zx;
    • o raio das bases mede 3 cm;
    • o ponto V é o centro da base de maior afastamento.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    4.

    Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por uma pirâmide hexagonal regular e um cubo.

    Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • trimetria: a projeção axonométrica do eixo y faz ângulos de 140º e de 100º com as projeções dos eixos x e z, respetivamente.
      Nota - Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

    Sólidos:

    • têm um eixo comum contido numa reta vertical.

    Pirâmide hexagonal regular:

    • o ponto C (5,5; 5,5; 6) é o centro da base;
    • duas arestas da base são paralelas ao eixo x;
    • um vértice da base pertence ao plano coordenado de perfil yz;
    • o vértice da pirâmide pertence ao plano coordenado horizontal xy.

    Cubo:

    • as faces estão contidas em planos paralelos aos planos coordenados;
    • a face de menor cota pertence ao plano da base da pirâmide;
    • as arestas medem 2 cm.
    Proposta de Resolução
  • 2010

    1.ª Fase

    4.

    Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.

    Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • dimetria: a projeção axonométrica do eixo x faz ângulos de 125º com a dos eixos y e z.
      Nota - Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.

    Prisma hexagonal regular:

    • duas faces são horizontais;
    • a face de menor cota está contida no plano coordenado horizontal xy;
    • o ponto A com 2 de abcissa e 4 de afastamento e o ponto B com 2 de abcissa e 10 de afastamento definem uma aresta dessa face;
    • uma das bases está contida no plano coordenado de perfil yz.

    Prisma quadrangular regular:

    • uma base está contida no plano coordenado horizontal xy;
    • o ponto P com 2 de abcissa e 6 de afastamento e o ponto Q com 2 de abcissa e 8 de afastamento definem a aresta de menor abcissa dessa base;
    • a outra base está contida no plano da face de maior cota do prisma hexagonal.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    4.

    Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por uma pirâmide triangular oblíqua de base regular, de acordo com os dados abaixo apresentados.

    Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • trimetria: a projeção axonométrica do eixo y faz ângulos de 130º e de 120º com as projeções dos eixos x e z, respetivamente.
      Nota - Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente da direita para a esquerda.

    Sólidos:

    • os pontos R (5; 5; 11) e S (0; 5; 11) definem uma aresta comum.

    Prisma quadrangular regular:

    • uma base está situada no plano coordenado horizontal xy;
    • os pontos R e S definem a aresta de maior afastamento da outra base.

    Pirâmide triangular oblíqua de base regular:

    • a base [RST] é paralela ao plano coordenado horizontal xy, sendo T o ponto de maior afastamento;
    • o vértice da pirâmide coincide com o centro da face de maior afastamento do prisma.
    Proposta de Resolução
  • 2009

    1.ª Fase

    4.

    Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspetiva cavaleira, de um sólido, situado no 1.º triedro, composto por dois prismas triangulares regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.

    Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • o eixo axonométrico y faz ângulos de 140º e de 130º com os eixos axonométricos x e z, respetivamente;
    • as projetantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.
      Nota: Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

    Prismas:

    • os dois prismas têm uma aresta lateral comum e as suas bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
    • ambos os prismas têm 9 cm de altura.

    Prisma triangular regular 1:

    • os pontos A (8; 12; 0) e B (0; 12; 0) definem uma aresta da base de maior afastamento.

    Prisma triangular regular 2:

    • o segmento [AA'] é a aresta lateral comum aos dois prismas;
    • a face oposta a essa aresta lateral é paralela ao plano coordenado horizontal xy;
    • a aresta da base mede 4 cm.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    4.

    Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por dois prismas regulares, de acordo com os dados abaixo apresentados.

    Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • dimetria: a projeção axonométrica do eixo y faz 130º com a dos eixos x e z.
      Nota: Considere os eixos orientados em sentido directo: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.

    Prisma quadrangular regular:

    • a base [RSTU] é paralela ao plano coordenado horizontal xy;
    • os pontos R (7; 9; 8) e S (7; 5; 8) definem uma aresta comum a essa base e à face de maior abcissa;
    • a outra base está contida no plano coordenado horizontal xy.

    Prisma hexagonal regular:

    • as bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
    • o quadrado [RSTU] representa a face de menor cota deste prisma.
    Proposta de Resolução
  • 2008

    1.ª Fase

    4.

    Construa uma representação axonométrica ortogonal de uma forma tridimensional composta por um prisma quadrangular regular e por um cubo, de acordo com os dados abaixo apresentados.

    Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das arestas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • dimetria: a projeção axonométrica do eixo x faz 125º com as dos eixos z e y.
      (Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)

    Prisma quadrangular:

    • as bases são paralelas ao plano coordenado frontal zx;
    • as arestas das bases medem 3 cm;
    • uma face situa-se no plano coordenado horizontal xy;
    • os pontos A (6; 3; 0) e E (6; 12; 0) definem a aresta lateral comum a essa face e à face de maior abcissa.

    Cubo:

    • a face de menor cota do cubo está contida na face de maior cota do prisma;
    • os pontos R (6; 6; 3) e S (6; 9; 3) definem uma aresta do cubo.
    Proposta de Resolução

    2.ª Fase

    4.

    Construa uma representação axonométrica oblíqua (clinogonal), em perspetiva cavaleira, de um sólido composto por dois cilindros de revolução, de acordo com os dados abaixo apresentados.

    Ponha em destaque, no desenho final, apenas o traçado das linhas visíveis do sólido resultante.

    Dados

    Sistema axonométrico:

    • o eixo axonométrico y faz ângulos de 145º e de 125º com os eixos axonométricos x e z, respetivamente;
    • as projetantes fazem ângulos de 55º com o plano axonométrico.
      (Considere os eixos orientados em sentido direto: o eixo z, vertical, orientado positivamente, de baixo para cima, e o eixo x, orientado positivamente, da direita para a esquerda.)

    Cilindros:

    • os dois sólidos têm as bases paralelas ao plano coordenado frontal zx;
    • o ponto O (6; 0; 4) é o centro de uma das bases de um cilindro que tem 7 cm de altura e que é tangente ao plano coordenado horizontal xy;
    • o ponto O' (6; 11; 4) é o centro de um círculo de 2 cm de raio que é a base de maior afastamento do outro cilindro que tem 4 cm de altura.
    Proposta de Resolução
  • 2007
  • 2006
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